Nachdem wir im letzten Video die notwendigen Begriffe und Konzepte von Stabilität in dynamischen

Systemen eingeführt haben, wollen wir in diesem Video uns mit dem sehr einfachen Fall

von linearen dynamischen Systemen und ihrer Stabilität beschäftigen.

Wir werden zu Anfang anfangen, uns Ruhelagen für allgemeine lineare Differentialgleichungssysteme

anzuschauen und das eine Familie von gewöhnlichen Differentialgleichungssystemen, die wir schon

in der letzten Vorlesung im letzten Semester kennengelernt haben, aber auch hier innerhalb

dieser Vorlesung nochmal wiederholt haben.

Und bevor wir ein sehr wichtiges Theorem angeben, das uns hilft zu charakterisieren, wann eine

Ruhelage eines linearen dynamischen Systems stabil oder instabil ist, wollen wir zuerst

noch ein wichtiges Hilfslemmer formulieren, das uns dabei helfen wird, dieses Theorien

zu beweisen.

Das heißt, wir fangen heute mal an mit folgendem Hilfslemmer.

Und weil wir später darauf referenzieren werden, nenne ich das hier grüne Sternchen,

damit Sie wissen, auf was ich mich beziehe im Beweis.

Und es ist ein Lemmer, das eine wichtige Eigenschaft des Matrix-Exponentials ausdrückt.

Und das haben wir auch schon in einer vorigen Vorlesung kennengelernt.

Das soll uns einfach helfen, Lösungen von gewöhnlichen Differentialgleichungssystemen

noch einfacher und kompakter anzugeben.

Also, was sagt uns dieses Lemmer zum Matrix-Exponential?

Es sei zunächst eine beliebige quadratische Matrix gegeben, die nennen wir A, die sei

über den komplexen Zahlen eine n-kreuz-n-Matrix.

Also eine beliebige quadratische Matrix.

Und wir sagen, wir haben einen Eigenwert dieser Matrix, die nennen wir Lambda.

Das heißt, sei Lambda auch aus den komplexen Zahlen ein Eigenwert von A zum Eigenvektor,

den nennen wir V.

Der ist dementsprechend aus dem C hoch N.

Und was hieß das nochmal?

Wenn wir einen Eigenwert von der Matrix A zum Eigenvektor V haben, naja, dann wissen wir

schonmal, dass die Eigenwertgleichung erfüllt ist.

Das ist nur mal kurz als Wiederholung.

Das heißt, dass wir wissen, es gilt AV gleich Lambda V in diesem konkreten Fall.

Ja, und was sagt uns jetzt dieses Lemmer?

Ich habe es schon angekündigt, es dreht sich ums Matrix-Exponential.

Das sagt uns jetzt, dass genau der gleiche Vektor V auch ein Eigenvektor des Matrix-Exponentials

E hoch A ist zum Eigenwert E hoch Lambda.

Das heißt, Eigenwert und Matrix, die werden einfach ins Matrix-Exponential gesteckt und

man kriegt denselben Eigenvektor raus.

Das wollen wir festhalten.

Dann ist der Vektor V auch Eigenvektor des Matrix-Exponentials.

Das habe ich schon kennengelernt.

Das ist diese unendliche Reihe.

So geschrieben E hoch A, also Exponentialfunktion hoch einer Matrix, zum zugehörigen Eigenwert

E hoch Lambda.

Und das ist jetzt wieder ein Skalar.

Das ist nicht ein Matrix-Exponential, sondern ganz einfach die Exponentialfunktion von Lambda.

Das heißt, man kann jetzt aus der normalen Eigenwertgleichung eine neue Eigenwertgleichung

herleiten, die sich daraus ergibt.

Das heißt im Endeffekt, dass E hoch A mal V dasselbe sein wird wie E hoch Lambda mal

V.

Das ist das, was man daraus folgern kann.